欧拉复数公式
（也有另外一个关于几何的 "欧拉公式"，
本页讲的是复数用的欧拉公式）
首先，你一定见过这个著名的方程：
eiπ + 1 = 0
这个方程真的很奇妙，因为它集合了：
e （欧拉数）
i （单位 虚数)
π （大名鼎鼎的 pi，一个在很多不同领域都出现的数）
0 和 1（也是不凡的数！）
若你想体验一个美妙的数学之旅，请继续看下去。
欧拉公式
这方程其实源自欧拉公式：
eix = cos x + i sin x
以 x = π，我们得到：
eiπ = cos π + i sin π
eiπ = −1 + i × 0 （因为 cos π = −1 和 sin π = 0）
eiπ = −1
eiπ + 1 = 0
故此，eiπ + 1 = 0 只不过是更有用的欧拉公式的一个特例。
发现
在大约公元1740年时，数学家都对 虚数很有兴趣。
虚数的平方是负数
通常这是不可能的（试试去取任何数的平方，记着负负得正），但想象你可以做得到，并叫这个数为 i（英语字“imaginary”（想象）的第一个字母），然后看看会有什么发生：
i2 = -1
有一天，欧拉在用虚数玩耍（！），他拿这个泰勒级数 （在当时已经发现了）：
（你可以用总和计算器来试试。）
他把 i 代进去：
因为 i2 = -1，级数简化成：
把含有 i 和没有 i 的项分开，我们得到：
奇迹出现……
第一组是 cos 的 泰勒级数
第二组是 sin 的泰勒级数
故此：
例子：当 x = 3
eix = cos x + i sin x
e3i = cos 3 + i sin 3
e3i = −0.990 + 0.141 i (（保留三位小数）
注意：我们是用弧度，不是用度数。
答案是实数与虚数的组合，叫 复数。
我们甚至可以在 复数平面 画出这个数（实数从左到右，虚数从下到上）：
在这图我们显示 −0.990 + 0.141 i 这个复数
这数也是 e3i
圆形！
把欧拉公式放到图上便会形成一个圆形：
eix 形成一个半径是 1 的圆形
我们可以把任何点（例如 3 + 4i）变成 reix 的格式（只需找到 x 的值和圆形的半径，r）
例子：3 + 4i
把这复数转换为 reix的格式，我们要转换笛卡尔坐标为极坐标：
r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 （保留三位小数）
所以 3 + 4i 也可以是 5e0.927 i
在很多情况下，用reix这个格式（例如乘法）比用 a+bi 容易
最后，这个点是 eiπ（刚才在页顶讲的）：
eiπ = −1
e （ 欧拉数）
代数索引