这个计算器能做什么
本工具可以计算六个三角函数中的任意一个——正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）——在某个角度处的取值。你只需选择函数、输入角度，再选定角度所用的单位（度、弧度、百分度或圈数）即可。计算器会先把角度换算成弧度，再代入所选函数，最后给出数值结果以及一条清晰易读的表达式，例如 sin(30 deg) = 0.5。
使用方法
1）在下拉菜单中选择三角函数；2）输入角度数值；3）选择角度单位。结果会即时刷新。如果你选择正切或正割并输入 90 度，或者选择余切或余割并输入 0 度，计算器会显示无定义（undefined），因为函数在这些位置存在奇点（分母为零）。
tan、cot、sec 和 csc 等函数在其无定义处有极点（垂直渐近线）。
公式详解
所有函数都由正弦和余弦推导而来。首先把角度换算成弧度：度乘以 \(\pi/180\)，弧度乘以 1，百分度乘以 \(\pi/200\)，圈数乘以 \(2\pi\)。
$$F(\theta)=\{\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta,\ \cot\theta,\ \sec\theta,\ \csc\theta\}$$
接着计算 \(\sin\theta\) 与 \(\cos\theta\)。由此可得：
$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\ \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$
由于浮点运算下的余弦值几乎不可能精确等于零，工具会在 \(|\cos\theta|\) 或 \(|\sin\theta|\) 小于 \(1\mathrm{e}{-12}\) 时将其判定为奇点，并显示“无定义（undefined）”。
实例演算
计算 tan(45 deg)。换算：
$$\theta = 45 \times \frac{\pi}{180} = 0.7853981634\ \text{弧度}$$
于是
$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{0.7071067812}{0.7071067812} = 1$$
所以 tan(45 deg) = 1。同理，
$$\csc(30\ \text{deg}) = \frac{1}{\sin(30\ \text{deg})} = \frac{1}{0.5} = 2$$
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在单位圆上，\(\cos\theta\) 和 \(\sin\theta\) 是角 \(\theta\) 处点的水平坐标和垂直坐标。
标准角下六个三角函数的精确值
下表给出了各三角函数在标准角处的精确值，括号内为保留 4 位小数的近似值。倒数函数定义如下：\(\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)、\(\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}\) 和 \(\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}\)。当分母为零时，该值无定义。这种情况对 tan 和 sec 出现在 \(\cos\theta = 0\) 处（90°、270°），对 cot 和 csc 出现在 \(\sin\theta = 0\) 处（0°、180°、360°）。
角度
弧度
sin
cos
tan
cot
sec
csc
0°
\(0\)
0 (0.0000)
1 (1.0000)
0 (0.0000)
无定义
1 (1.0000)
无定义
30°
\(\frac{\pi}{6}\)
\(\frac{1}{2}\) (0.5000)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (0.8660)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) (0.5774)
\(\sqrt{3}\) (1.7321)
\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) (1.1547)
2 (2.0000)
45°
\(\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (0.7071)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (0.7071)
1 (1.0000)
1 (1.0000)
\(\sqrt{2}\) (1.4142)
\(\sqrt{2}\) (1.4142)
60°
\(\frac{\pi}{3}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (0.8660)
\(\frac{1}{2}\) (0.5000)
\(\sqrt{3}\) (1.7321)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) (0.5774)
2 (2.0000)
\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) (1.1547)
90°
\(\frac{\pi}{2}\)
1 (1.0000)
0 (0.0000)
无定义
0 (0.0000)
无定义
1 (1.0000)
120°
\(\frac{2\pi}{3}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (0.8660)
\(-\frac{1}{2}\) (−0.5000)
\(-\sqrt{3}\) (−1.7321)
\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) (−0.5774)
−2 (−2.0000)
\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) (1.1547)
135°
\(\frac{3\pi}{4}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (0.7071)
\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) (−0.7071)
−1 (−1.0000)
−1 (−1.0000)
\(-\sqrt{2}\) (−1.4142)
\(\sqrt{2}\) (1.4142)
150°
\(\frac{5\pi}{6}\)
\(\frac{1}{2}\) (0.5000)
\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) (−0.8660)
\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) (−0.5774)
\(-\sqrt{3}\) (−1.7321)
\(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\) (−1.1547)
2 (2.0000)
180°
\(\pi\)
0 (0.0000)
−1 (−1.0000)
0 (0.0000)
无定义
−1 (−1.0000)
无定义
270°
\(\frac{3\pi}{2}\)
−1 (−1.0000)
0 (0.0000)
无定义
0 (0.0000)
无定义
−1 (−1.0000)
360°
\(2\pi\)
0 (0.0000)
1 (1.0000)
0 (0.0000)
无定义
1 (1.0000)
无定义
符号由所在象限决定。第一象限（0° 至 90°）中六个函数都为正。第二象限（90° 至 180°）中只有 sin 和 csc 为正。第三象限（180° 至 270°）中只有 tan 和 cot 为正。第四象限（270° 至 360°）中只有 cos 和 sec 为正。所有函数都以 360°（\(2\pi\)）为周期重复，而 tan 和 cot 在 180°（\(\pi\)）后即已重复。
关于浮点运算的说明：\(\pi\) 无法被精确存储，因此普通计算机计算 \(\cos 90°\) 这类式子时，得到的是类似 \(6.1 \times 10^{-17}\) 的微小数，而不是精确的 0。因此，\(\tan 90°\) 可能得到一个很大的有限数。本计算器会检测这些点并将其报告为无定义，这与表中的精确值一致。
角度单位换算：度、弧度、百分度、圈
四种单位度量的是同一旋转，只是刻度不同。一整圈为 360 度、\(2\pi\) 弧度、400 百分度（也称 gon）或 1 圈。弧度是数学和大多数编程语言中的标准单位。百分度主要用于测量学，在科学计算器上显示为 GRAD 模式。
角度
弧度（精确值）
弧度（小数）
百分度
圈数
30°
\(\frac{\pi}{6}\)
0.5236
\(33\tfrac{1}{3}\) (33.3333)
\(\frac{1}{12}\) (0.0833)
45°
\(\frac{\pi}{4}\)
0.7854
50
\(\frac{1}{8}\) (0.125)
60°
\(\frac{\pi}{3}\)
1.0472
\(66\tfrac{2}{3}\) (66.6667)
\(\frac{1}{6}\) (0.1667)
90°
\(\frac{\pi}{2}\)
1.5708
100
\(\frac{1}{4}\) (0.25)
180°
\(\pi\)
3.1416
200
\(\frac{1}{2}\) (0.5)
270°
\(\frac{3\pi}{2}\)
4.7124
300
\(\frac{3}{4}\) (0.75)
360°
\(2\pi\)
6.2832
400
1
换算系数
换算时，将“从”单位的数值乘以所示系数。
从
到
乘以
近似系数
角度
弧度
\(\frac{\pi}{180}\)
0.0174533
弧度
角度
\(\frac{180}{\pi}\)
57.2958
角度
百分度
\(\frac{10}{9}\)
1.11111
百分度
角度
\(\frac{9}{10}\)
0.9
角度
圈
\(\frac{1}{360}\)
0.00277778
圈
角度
\(360\)
360
弧度
百分度
\(\frac{200}{\pi}\)
63.6620
百分度
弧度
\(\frac{\pi}{200}\)
0.0157080
弧度
圈
\(\frac{1}{2\pi}\)
0.159155
圈
弧度
\(2\pi\)
6.28319
百分度
圈
\(\frac{1}{400}\)
0.0025
圈
百分度
\(400\)
400
示例：将 135° 换算为其他三种单位，结果如下：
$$135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \approx 2.3562\ \text{弧度}, \qquad 135 \times \frac{10}{9} = 150\ \text{百分度}, \qquad \frac{135}{360} = 0.375\ \text{圈}$$
在计算函数值之前，计算器会使用系数 \(k\) 将输入转换为弧度：角度使用 \(\pi/180\)，弧度使用 1，百分度使用 \(\pi/200\)，圈数使用 \(2\pi\)。这意味着 90°、\(\pi/2\) 弧度、100 百分度和 0.25 圈都会得到相同的结果。
三角函数的象限符号与角度化简
每个三角函数的符号仅取决于角的终边所在的象限。助记词ASTC（"All Students Take Calculus"，即"全部学生都学微积分"）列出了从第一象限开始按逆时针方向，哪些函数为正：All（全部）、Sine（正弦，及其倒数余割）、Tangent（正切，及其倒数余切）、Cosine（余弦，及其倒数正割）。
象限
角度范围（度）
sin
cos
tan
cot
sec
csc
参考角 \(\alpha\)
I
0° 至 90°
+
+
+
+
+
+
\(\alpha = \theta\)
II
90° 至 180°
+
−
−
−
−
+
\(\alpha = 180^\circ - \theta\)（或 \(\pi - \theta\)）
III
180° 至 270°
−
−
+
+
−
−
\(\alpha = \theta - 180^\circ\)（或 \(\theta - \pi\)）
IV
270° 至 360°
−
+
−
−
+
−
\(\alpha = 360^\circ - \theta\)（或 \(2\pi - \theta\)）
倒数函数总是与其对应函数符号相同：sec 与 cos 同号，csc 与 sin 同号，cot 与 tan 同号。恰好位于坐标轴上的角（0°、90°、180°、270°）位于象限之间，因此这些位置的值为 0、±1 或无定义。
周期
函数
周期（弧度）
周期（度）
周期（百分度 grad）
周期（圈）
sin、cos、sec、csc
\(2\pi\)
360°
400
1
tan、cot
\(\pi\)
180°
200
0.5
角度化简
通过加减 360° 的整数倍，将角化简到 0° 至 360° 的范围内（对于 tan 和 cot，180° 的整数倍同样适用）。
确定象限，并利用表格得到符号。
计算参考角 \(\alpha\)，在 \(\alpha\) 处求函数值，然后添加符号。
负角：\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)，\(\cos(-\theta) = \cos\theta\)，\(\tan(-\theta) = -\tan\theta\)。例如：210° 位于第三象限，参考角为 30°，因此 \(\sin 210^\circ = -\sin 30^\circ = -0.5\)。
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解读结果：值域、定义域与极点
各函数的值域
sin 与 cos：始终位于闭区间 \([-1, 1]\) 内。
sec 与 csc：绝不会严格位于 −1 与 1 之间；其值始终满足 \(|\text{数值}| \ge 1\)。
tan 与 cot：可以取任意实数值。
定义域限制（极点）
由于倒数函数需要除以 sin 或 cos，某些角不会给出有限的值：
tan 与 sec在 \(\cos\theta = 0\) 处无定义：\(\theta = 90^\circ + k\cdot 180^\circ\)，即 \(\theta = \pi/2 + k\pi\)，其中 \(k\) 为任意整数（等价于 100 + 200k 百分度，或 0.25 + 0.5k 圈）。
cot 与 csc在 \(\sin\theta = 0\) 处无定义：\(\theta = k\cdot 180^\circ\)，即 \(\theta = k\pi\)（0、200k 百分度，或 0.5k 圈）。
sin 与 cos 对每个角都有定义。
接近极点时的行为
接近极点时，函数值的绝对值无限增大，极点处的竖直线为渐近线。从 90° 下方逼近时，tan 为很大的正数；从上方逼近时，则为很大的负数。例如，\(\tan 89.9^\circ = 1/\tan 0.1^\circ \approx 572.96\)，且 \(\tan 89.99^\circ \approx 5729.6\)。因此，结果很大通常意味着角非常接近极点，而不是出了什么错误。
负结果的含义
负结果仅反映象限（参见符号表）：sin 在第三和第四象限为负，cos 在第二和第三象限为负，tan 在第二和第四象限为负。负的或很大的输入角是有效的，它们会通过函数的周期进行化简。
浮点数误差
计算机对 \(\pi\) 只能近似存储，因此精确为零的结果可能显示为极小的数字。例如 \(\cos 90^\circ\) 的计算结果约为 \(6.1\times10^{-17}\)，而不是 0；\(\sin 180^\circ\) 约为 \(1.2\times10^{-16}\)。这些都是舍入误差，应当视为零。同样的效应也使得 \(\tan 90^\circ\) 在原始运算中会得到约 \(1.6\times10^{16}\)；具备极点识别功能的计算器会将如此接近极点的结果视为无定义，而不是一个巨大的数字。
关键术语与恒等式
单位圆
以原点为圆心、半径为 1 的圆。对于从正 x 轴开始逆时针度量的角 \(\theta\)，圆上对应的点为 \((\cos\theta, \sin\theta)\)，且 \(\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta\)。
倒数函数
乘积为 1 的函数对：\(\csc\theta = 1/\sin\theta\)，\(\sec\theta = 1/\cos\theta\)，\(\cot\theta = 1/\tan\theta = \cos\theta/\sin\theta\)。
极点 / 渐近线
由于除以零而使函数无定义的输入值，其附近的函数值无限增大（参见上一节）。
周期
函数重复出现所需的最小正平移量：sin、cos、sec、csc 为 \(2\pi\)，tan、cot 为 \(\pi\)。
弧度
圆心处的角，所对圆弧长度等于半径。一整圈为 \(2\pi\) 弧度，因此 \(180^\circ = \pi\) rad。
百分度（gon）
一个整圈为 400 百分度的单位，因此直角为 100 百分度，且 \(1\text{ grad} = \pi/200\) rad = 0.9°。
圈
一次完整的旋转：1 圈 = 360° = 400 grad = \(2\pi\) rad。
参考角
角的终边与 x 轴之间的锐角。除符号外，\(\theta\) 处的函数值与参考角处的函数值相等。
计算器使用的单位换算
角度首先被转换为弧度：\(\theta_{\text{rad}} = \text{angle} \times k\)，其中度的 \(k = \pi/180\)，弧度的 \(k = 1\)，百分度的 \(k = \pi/200\)，圈的 \(k = 2\pi\)。
勾股恒等式
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$$
$$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$
第二个式子在 \(\cos\theta \ne 0\) 时成立，第三个式子在 \(\sin\theta \ne 0\) 时成立。
余函数关系
$$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta,\qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$$
$$\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta,\qquad \sec(90^\circ - \theta) = \csc\theta$$
在弧度制中，将 \(90^\circ\) 替换为 \(\pi/2\)。例如：\(\sin 60^\circ = \cos 30^\circ \approx 0.8660\)。
常见问题
每个函数的取值范围是多少？sin 和 cos 的取值始终在 \(-1\) 到 \(1\) 之间；sec 和 csc 的绝对值至少为 \(1\)；tan 和 cot 可以是任意实数。
为什么会显示“无定义”？正切和正割在余弦为零的位置（90 度、270 度……）会发散；余切和余割在正弦为零的位置（0 度、180 度……）会发散。在这些奇点处，函数没有有限的取值。
“圈（turn）”是什么？一圈表示转动一整周，等于 360 度或 \(2\pi\) 弧度。它在旋转和频率相关的计算中非常方便。